ویدئو – لینک
در تئوری احتمال، قضیه حد مرکزی (CLT) نشان میدهد که در بسیاری از موقعیت‌ها، برای نمونه‌های مستقل که به طور یکسان توزیع شده‌اند، میانگین نمونه استاندارد شده به سمت توزیع نرمال استاندارد میل میکند حتی اگر خود متغیرهای اصلی از توزیع نرمال طبعیت نکنند. +
قضیه حد مرکزی (به انگلیسی: Central Limit Theorem ) در نظریه احتمالات بیان میکند که در بیشتر مواقع، مجموع تعدادی متغیر تصادفی مستقل، که هر یک میانگین و واریانس به خوبی تعریف شده دارند، به‌طور تقریبی دارای توزیع نرمال خواهد بود. هرچه تعداد این متغیرهای مستقل افزایش یابد، این تقریب بهتر میشود. +
لینک خوب ++
بیان میکند که اگر به تعداد زیاد از یک توزیع دلخواه نمونه برداری (با تعداد کافی بزرگتر مساوی 30) کنیم،
- توزیع میانگین نمونه‌ها به سمت توزیع نرمال خواهد رفت.
- همچنین میانگین توزیع شکل گرفته برابر با میانگین جامعه اصلی است که از آن نمونه برداری کردیم.
- انحراف معیار توزیع حاصل نیز برابر با نسبت انحراف معیار توزیع اصلی به جذر اندازه نمونه است.
- در تصویر زیر با تعداد مشخص شده نمونه 10 تایی از توزیع نرمال استاندارد گرفته‌ایم و هیستوگرام میانگین نمونه‌ها را ترسیم کرده‌ایم. می‌بینیم که میانگین ها حدود صفر و انحراف معیار نیز حدودا مطابق به فرمول بالاست. اگر تعداد نمونه‌ها را به 100 افزایش داده و آزمایش زیر را مجددا تکرار کنیم مقدار انحراف معیار در همه موارد در حدود 0.1 خواهد بود.
تعداد نمونه را به 100 میرسانیم : (میانگین به صفر نزدیکتر و توزیع گوسی تر میشود.)
تعداد نمونه را به 100k میرسانیم: توزیع کاملا گوسی و میانگین تقریبی صفر
لینک ++:
قضیهی حدّ مرکزی نشان میدهد که بسیاری از پدیدههای طبیعی، با تقریب خوبی یک توزیع نرمال استاندارد هستند.
نکته:
متاسفانه این مفهوم در ذهن برخی دانشجویان و محققین شکل گرفته است که در زمانی که حجم نمونه زیاد باشد بر اساس قضیه حد مرکزی داده های مورد نظر از توزیع نرمال پیروی می کنند. در صورتی که این چنین نیست و قضیه حد مرکزی در خصوص زیاد بودن اندازه نمونه در میانگین های نمونه ای صحبت می کند.
برای توضیحا تبیشتر به این لینک مراجعه شود.
درتصویر زیر انتخاب نمونه های 10 تایی و 100 تایی در بازه -3 تا 3 مشخص شده است. همانگونه که دیده میشود اثر از الگوی گوسی یا نرمال نیست. (همانطوری که در نمودار بالا می بینیم با افزایش نمونه توزیع متغیر تصادفی از یونیفرم به توزیع نرمال تبدیل نشد (نقل قول++))
چیزی که از الگوی نرمال پیروی میکند، توزیع میانگین نمونه ای است. (نقل قول : در بازه -3 تا 3 ، به ترتیب 40، 400، 4000 و 40000 بار نمونه های 1000 تایی گرفته و میانگین آن ها را محاسبه می کنیم. حال برای این میانگین های نمونه ای هیستوگرام رسم می کنیم.) یعنی هر بار نمونه 1000 تایی گرفته ایم و میانگین آن را ثبت کرده ایم. مشاهده میشود که حاصل اکثر میانگین ها به سمت میانگین کل جامعه(در اینجا عدد میانی-3 تا 3 که صفر میشود) میل کرده است.
و
نکته پایانی:
نمونه های (30 نمونه یا بیشتر) انتخاب شده از یک جامعه بزرگ، الگوی نرمال ندارند. بلکه این میانگین نمونه های انتخاب شده است که اگر تکرار شود و ثبت شود، الگوی نرمال در آن مشاهده میشود. و با افزایش تعداد انجام آزمایش ، نرمال بودن آن بیشتر و دقیق تر میشود.
مزیت یا کاربرد حد مرکزی در این است که زمانی که جامعه بسیار بزرگ باشد، میتوان با اندازه گیری میانگینِ میانگینِ نمونه های بدست آمده از کل جمعیت، میانگین کل را بدست آورد و همچنین ,انحراف استاندارد (جذر واریانس) کل هم برابر با انحراف استاندارد بدست آمده درجذر n (تعداد نمونه ها) خواهد بود:
